Những điểm cốt lõi của hình học Riemann
Nếu bạn nhảy lên một tấm nhảy đàn hồi, thì trọng lượng của cơ thể bạn sẽ làm cho nó bị cong đi, do các sợi đàn hồi của nó bị giãn ra. Sự giãn ra này là mạnh nhất ở ngay dưới chân bạn và nhỏ dần ở phía mép của tấm nhảy. Để có thể quan sát điều đó được rõ hơn, bạn có thể vẽ lên tấm nhảy một hình ảnh quen thuộc, như hình ảnh của nàng Mona Lisa, chẳng hạn. Khi không có vật nặng nào đặt trên tấm nhảy, hình ảnh của Mona Lisa nhìn như bình thường Nhưng khi bạn đứng lên đó, thì hình ảnh của nàng bị méo đi, đặc biệt là phần ở ngay dưới chân bạn, như minh họa trên Hình 10.1.
 |
| Hình 10.1 Khi đứng trên tấm nhảy có in hình Mona Lisa, hình ảnh sẽ bị méo nhiều nhất ở ngay dưới chân bạn. |
Hình 10.1 Khi đứng trên tấm nhảy có in hình Mona Lisa, hình ảnh sẽ bị méo nhiều nhất ở ngay dưới chân bạn
Ví dụ này cho phép ta đi thẳng tới cốt lõi của khuôn khổ toán học của hình học Riemann để mô tả những hình dạng cong. Dựa trên những phát minh của các nhà toán học như Carl Friedric Gauss, Nicolai Lobachevsky, Janos Bolyai và những người khác,
Riemann đã chứng tỏ được rằng sự phân tích kỹ lưỡng những khoảng cách giữa các điểm ở trên hoặc trong vật sẽ cho ta một phương tiện để định lượng hóa mức độ cong của nó. Nói một cách nôm na, sự giãn ra (không đều) càng lớn, thì sự lệch khỏi những quan hệ về khoảng cách trên một hình dạng phẳng càng lớn. Ví dụ, tấm nhảy bị giãn mạnh nhất ở ngay dưới cơ thể bạn và do đó những quan hệ về khoảng cách giữa các điểm trên vùng đó sẽ bị méo mó đi nhiều nhất. Vì vậy, vùng này của tấm nhảy sẽ có độ cong lớn nhất, đúng như ta chờ đợi, vì đây cũng là chỗ hình ảnh của Mona Lisa bị biến dạng mạnh nhất, làm nhăn nhó góc miệng vốn thường thể hiện nụ cười đầy bí ẩn của nàng.
Einstein đã chấp nhận những phát minh toán học của Riemann bằng cách cho nó một giải thích vật lý cụ thể. Và như ta thấy trong Chương 3, ông đã chứng minh được rằng độ cong của không-thời gian chính là hiện thân của lực hấp dẫn. Như bây giờ chúng ta hãy suy ngẫm về cách giải thích đó một cách kỹ lưỡng hơn. Về mặt toán học, độ cong của không -thời gian, tựa như độ cong của tấm nhảy, phản ánh những mối quan hệ về khoảng cách giữa các điểm bị nó biến dạng đi. Về mặt vật lý, lực hấp dẫn mà một vật cảm nhận thấy lạ là sự phản ánh trực tiếp của sự biến dạng đó. Thực tế, bằng cách làm cho vật nhỏ dần lại, toán học và vật lý sẽ càng phù hợp với nhau một cách chính xác hơn theo mức độ thể hiện vật lý càng gần tới khái niệm điểm, một khái niệm toán học trừu tượng. Nhưng lý thuyết dây lại áp đặt một giới hạn đối với độ chính xác mà vật lý của lực hấp dẫn có thể cụ thể hóa hình thức luận hình học của Riemann, bởi vì việc làm vật nhỏ dần cũng có giới hạn của nó. Một khi đã làm nhỏ vật tới kích thước của các dây, bạn sẽ không thể làm cho nó nhỏ hơn được nữa. Như vậy, khái niệm truyền thống về các hạt điểm không còn tồn tại trong lý thuyết dây. Đây là một yếu tố cơ bản trong khả năng của nó để cho chúng ta một lý thuyết lượng tử của lực hấp dẫn. Điều này chỉ ra một cách cụ thể cho chúng ta thấy rằng khuôn khổ hình học Riemann, một hình học về cơ bản dựa trên khoảng cách giữa các điểm, sẽ phải thay đổi ở những thang siêu vi mô theo sự đòi hỏi của lý thuyết dây.
Điều này có ảnh hưởng không đáng kể đến những ứng dụng vĩ mô thông thường của lý thuyết tương đối rộng. Ví dụ, trong những nghiên cứu vũ trụ học, các nhà vật lý thường mô hình hóa toàn bộ các thiên hà là những điểm vì thực ra kích thước của chúng là cực kỳ nhỏ bé so với kích thước của toàn Vũ trụ. Vì lý do đó, việc thực hiện khuôn khổ của hình học Riemann theo cách thô sơ ấy vẫn tỏ ra là một gần đúng rất tốt, như thực tế đã xác nhận. Nhưng trong thế giới siêu vi mô, bản chất có quảng tính của các dây đảm bảo rằng hình học Riemann không còn là một khuôn khổ toán học phù hợp nữa. Thay vì, nó cần phải thay bằng hình học lượng tử của lý thuyết dây, dẫn tới những tính chất mới và bất ngờ.